TERMINE:> funzioni proposizionali, insiemi, classi

AUTORE:> Shapiro [1990], p.234

FONTE:> direttamente dal testo.

OSSERVAZIONI: >

> le funzioni proposizionali sono intensionali.

> Insiemi e classi sono estensionali:

- gli insiemi sono "costituiti dai loro elementi";

- le classi sono estensioni di proprietà.

S. rimanda, per queste distinzioni, specialmente al saggio 8 "Sets and Classes" dell'opera di Charles Parsons, Mathematics in Philosophy (Ithaca: Cornell, 1983).

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von Neumann, Goedel:

esistono classi che non sono insiemi. Gli insiemi somo entità logiche ben determinate; le classi sono estensioni di predicati.

Teoria NGB (von Neumann, Goedel, Bernays).

L'idea di fondo (che si deve a von Neumann) è la seguente: vi sono classi pensabili come un "dato" (infinità "chiuse", "statiche"; per es.: la classe dei numeri naturali, dei numeri reali, dei punti del piano e dello spazio reale affine ecc. ecc.) e classi non pensabili come "dati", come "elementi" (per es. la "classe universale").

Una proprietà P(x), relativa a classi ( il simbolo x denota una classe), definisce una classe se e solo se le classi x che verificano la P sono tutte insiemi. E infatti, per pensare una proprietà P(x) estensionalmente, come classe che ha per elementi le classi che soddisfano la P, dovremo avere a che fare con classi x pensabili come elementi, cioè con insiemi.

La "classe totale" non è un insieme (è definita mediante la proprietà I(x) : "x è un insieme" e I è, per definizione, verificata solo da classi che sono insiemi). V. Lombardo Radice, Istituzioni di algebra astratta, Feltrinelli, p. 55 e sgg..

In genere, i logici usano i due termini come sinonimi (v. Quine, From a logical point of vew, VI, 3).